基礎應用數學 各週進度

 

週次 周五 (第1節) 周五 (第2節) 章別
第 1 週 課程簡介    
第 2 週

複習:函數、微分、積分

向量的定義與基本代數運算
向量
第 3 週

座標變換、向量微分、曲線、軌道(選)

梯度、散度、旋度、常用公式、正交(球、柱)座標系

向量
第 4 週

向量積分:高斯定理與連續方程式

延續上一節

向量
第 5 週

司鐸克斯定理、格林定理與其他

延續上一節

向量
第 6 週

小考

小考

張量
第 7 週 張量的來源、定義與範例、協變、反協變 測度張量、黎曼空間、測地線
第 8 週 協變微分 緩衝
張量
第 9 週 考前複習

考前複習

期中考

 

第 11 週 期中考檢討 期中考分數申訴更正
第 13 週 一階常微方:分離變數、正合方程式、積分因子(範例) 常係數二階常微方:通解、 存在性(朗氏根)、補函數
常微分方程
第 12 週 特殊解、D 算子、奧依勒線性方程(略) 級數解、傅羅貝尼亞斯法
常微分方程
第 14 週    
常微分方程
第 15 週      
第 16 週 同時方程式、Γ 與 β 函數(選) 初始值問題與邊界值問題、數值解淺論  
第 17 週 期末考複習 期末考複習  
期末考  

 

週次 周五 (第1節) 周五 (第2節)  
第 1 週 課程簡介    
第 2 週 矩陣的定義、特性、規則 矩陣代數、反矩陣求法
矩陣
第 3 週 (轉動)正交、厄米特矩陣 (座標)正交、么正、相似轉換
矩陣
第 4 週 本徵值問題與矩陣對角化 慣量矩與 normal mode 問題
矩陣
第 5 週 補充:反矩陣的求法(高斯法)  
矩陣
第 6 週 小考 小考  
第 7 週 函數正交性與富利葉級數 Gibbs 現象、 振動弦、RLC 迴路 富利葉級數
第 8 週 富利葉積分與富利葉轉換 δ函數、捲積定理 富利葉級數
第 9 週 格林函數 (保留) 保留  / 緩衝 富利葉級數
期中考  
第 11 週 期中考檢討 期中考分數申訴更正  
第 12 週 線性向量空間簡介與基本觀念複習 基底(函數)、維度、線性組合、向量(函數)空間
線性空間
第 13 週 內積空間、正交化過程、(歌西舒--瓦玆)三角不等式 向量與線性算子的基底與表象
線性空間
第 14 週 算子的代數與本徵值問題 一些特殊的算子(逆、伴、厄米特、么正、投影)
線性空間
第 15 週 基底變換、對易算子、函數空間  
線性空間
第 16 週 不固定的軌跡、 Euler-Lagrange 方程式 約制條件下的變分學問題 變分學
第 17 週 Hamilton 原理與 Lagrange 運動方程式、Ryligh-Ritz法 Hamilton's 原理與 正則 (canonical) 運動方程式 變分學
第 18 週 修正的 Hamilton 原理、Hamilton-Jacibi 運動方程式、多變量變分學 保留  / 緩衝 十大重點複習 變分學
期末考  

 

 

原規劃

週次 二 (3) 二 (4) 章別
第 1 週 課程簡介    
第 2 週

複習:函數、微分、積分

向量的定義與基本代數運算
向量
第 3 週

座標變換、向量微分、曲線、軌道(選)

梯度、散度、旋度、常用公式、正交(球、柱)座標系

向量
第 4 週

向量積分:高斯定理與連續方程式

延續上一節

向量
第 5 週

司鐸克斯定理、格林定理與其他

延續上一節

向量
第 6 週

張量的來源、定義與範例、協變、反協變

測度張量、黎曼空間、測地線

張量
第 7 週 小考 小考
第 8 週 協變微分 緩衝
張量
第 9 週 考前複習

考前複習

期中考

 

第 11 週 期中考檢討 期中考分數申訴更正
第 13 週 一階常微方:分離變數、正合方程式、積分因子(範例) 常係數二階常微方:通解、 存在性(朗氏根)、補函數
常微分方程
第 12 週 特殊解、D 算子、奧依勒線性方程(略) 級數解、傅羅貝尼亞斯法
常微分方程
第 14 週 同時方程式、Γ 與 β 函數(選) 初始值問題與邊界值問題、數值解淺論
常微分方程
第 15 週 矩陣的定義、特性、規則 矩陣代數、反矩陣求法
矩陣
第 16 週 (轉動)正交、厄米特矩陣 (座標)正交、么正、相似轉換
矩陣
第 17 週 本徵值問題與矩陣對角化 慣量矩與 normal mode 問題
矩陣
期末考  

 

週次 二 (3) 二 (4)  
第 1 週 課程簡介    
第 2 週 函數正交性與富利葉級數 Gibbs 現象、 振動弦、RLC 迴路 富利葉級數
第 3 週 富利葉積分與富利葉轉換 δ函數、捲積定理 富利葉級數
第 4 週 格林函數 (保留) 保留  / 緩衝 富利葉級數
第 5 週      
第 6 週 線性向量空間簡介與基本觀念複習 基底(函數)、維度、線性組合、向量(函數)空間
線性空間
第 7 週 內積空間、正交化過程、(歌西舒--瓦玆)三角不等式 向量與線性算子的基底與表象
線性空間
第 8 週 算子的代數與本徵值問題 一些特殊的算子(逆、伴、厄米特、么正、投影)
線性空間
第 9 週 基底變換、對易算子、函數空間  
線性空間
期中考  
第 11 週 期中考檢討 期中考分數申訴更正  
第 12 週 不固定的軌跡、 Euler-Lagrange 方程式 約制條件下的變分學問題 變分學
第 13 週 Hamilton 原理與 Lagrange 運動方程式、Ryligh-Ritz法 Hamilton's 原理與 正則 (canonical) 運動方程式 變分學
第 14 週 修正的 Hamilton 原理、Hamilton-Jacibi 運動方程式、多變量變分學 保留  / 緩衝 變分學
第 15 週 排序、插值、作圖、 微分、積分
數值方法
第 16 週 解微分方程 I 解微分方程 II
數值方法
第 17 週 機率、取樣、排列組含、機率分佈函數、中央極限定理 隨機變數、平均值、變異數、標準差、常態分佈、曲線擬合
機率統計
第 18 週 二項式、泊松、高斯、馬克斯威爾--波玆曼分佈  
機率統計
期末考  

 

舊學期

週次 一 (2) 二 (3) 二 (4) 章別
第 1 週 課程簡介 向量的定義與基本代數運算 座標變換、向量微分、曲線、軌道(選) 向量
第 2 週 梯度、散度、旋度、常用公式、正交(球、柱)座標系 向量積分:高斯定理與連續方程式

司鐸克斯定理、格林定理與其他
(預習小考:向量)

向量
第 3 週 張量的來源、定義與範例、協變、反協變 測度張量、黎曼空間、測地線 協變微分 張量
第 4 週 一階常微方:分離變數、正合方程式、積分因子(範例) 常係數二階常微方:通解、 存在性(朗氏根)、補函數 特殊解、D 算子、奧依勒線性方程(略) 常微方
第 5 週 級數解、傅羅貝尼亞斯法 同時方程式、Γ 與 β 函數

初始值問題與邊界值問題、數值解淺論

常微方
第 6 週 矩陣的定義、特性、規則
(第二次預習小考:矩陣)
矩陣代數、反矩陣求法 (轉動)正交、厄米特矩陣 矩陣
第 7 週 (座標)正交、么正、相似轉換 本徵值問題與矩陣對角化 慣量矩與 normal mode 問題 矩陣
第 8 週 保留  / 緩衝 函數正交性與富利葉級數 Gibbs 現象、 振動弦、RLC 迴路 富利葉
第 9 週 富利葉積分與富利葉轉換 δ函數、捲積定理、 格林函數 (保留) 富利葉
期中考  
第 11 週 線性向量空間簡介與基本觀念複習 期中考檢討 期中考分數申訴更正 線空間
第 12 週 基底(函數)、維度、線性組合、向量(函數)空間 內積空間、正交化過程、(歌西舒--瓦玆)三角不等式 向量與線性算子的基底與表象 線空間
第 13 週 算子的代數與本徵值問題 一些特殊的算子(逆、伴、厄米特、么正、投影) 基底變換、對易算子、函數空間 線空間
第 14 週 預習小考:變分學 不固定的軌跡、
Euler-Lagrange 方程式
約制條件下的變分學問題 變分學
第 15 週 Hamilton 原理與 Lagrange 運動方程式、Ryligh-Ritz法 Hamilton's 原理與 正則 (canonical) 運動方程式 修正的 Hamilton 原理、Hamilton-Jacibi 運動方程式、多變量變分學 變分學
第 16 週 排序、插值、作圖、 微分、積分 解微分方程 數值法
第 17 週 機率、取樣、排列組含、機率分佈函數、中央極限定理 隨機變數、平均值、變異數、標準差、常態分佈、曲線擬合 二項式、泊松、高斯、馬克斯威爾--波玆曼分佈 機率論
期末考  

 

 

向量與張量分析(三週)

前言:什麼是向量?為何用向量? (H 1)

向量與純量

方向角與方向餘弦

向量代數

相等

相加

乘係數

內積

外積

純量三重積

向量三重積

 

座標變換 (H 2)

線性向量空間 Vn

向量微分

空間曲線

平面運動

軌道問題(選)

 

向量微分 (H 3)

純量場微分與梯度

保守向量場

向量微分算子

向量場的向量微分

散度

2

旋度

常用公式

正交曲線性座標系

常用正交座標系

柱座標系

球座標系

 

向量積分與積分定理

高斯定理與連續方程式 (H 4)

司鐸克斯定理、格林定理與其他 (H 5)

Helmholtz 定理

一些有用的積分關係式

 

張量的定義、實例與張量分析 (H 6)

協變、反協變向量

二級張量

張量間的基本運算

商律

 

線段元素與測度張量 (H 7)

附屬張量

黎曼空間堛煽地線

 

協變微分(H 8)

向量、張量總結:物理定律的不變性

 

 

常微分方程式(兩週)

一階問題 (Hour 1)

分離變數 (及範例)

正則式 (及範例)

積分因子 (及範例)

伯努力方程 (略)

 

二階問題(常數係數)(Hour 2)

齊次、非齊次

線性方程式組的通性:朗氏根行列式

找補函數

 

與特解的規則(Hour 3)

算子 D

 

奧依勒線性方程 (略)

 

級數解 (Hour 4)

傅羅貝尼亞斯法

 

同時方程式、Γ 與 β 函數 (Hour 5)

 

初始值問題與邊界值問題 (Hour 6) (選)

數值解淺論

 

矩陣代數(三週)

前言:從線性方程組與轉動談起 (Hour 1)

矩陣間的基本運算

相等

相加

乘上一個係數

相乘

範例:轉動

結合律與分配律成立,證明

線性轉換與矩陣運算的淵源

 

更多矩陣操作

行列式 (Hour 2)

3x3、nxn 求法、一般性定義 (Appendix II)

對易式

冪次

矩陣的函數

矩陣的轉置

定義

(AB)T = BTAT 、證明

對稱與 skew-對稱矩陣

兩對稱矩陣相乘未必對稱

向量積的矩陣表法

 

反矩陣 (Hour 3)

求反矩陣的一種方法

Gramer's rule

補充:高斯消去法複習

線性方程式組求解與反矩陣

取共軛複數

Hemitian 共軛

Hemitian 及 anti-Hemitian 矩陣

 

(實數)正交矩陣 (Hour 4)

么正矩陣

轉動矩陣

矩陣之 trace 與其意義

正交轉換與么正轉換 及其守恆量

相似轉換 及其守恆量

 

矩陣本徵值問題與解法 (Hour 5)

Hemitian 矩陣的本徵值與本徵向   量

矩陣對角化

對易矩陣的本徵值

Cayley-Hamilton 定理

 

轉動慣量(慣量矩)(Hour 6)

振動 的 Normal Modes

矩陣的 Direct Product

 

富利葉級數與積分(一週半 or 兩週)(應數會教)

前言:三角函數的正交性 (Hour 1)

週期函數

富利葉級數;奧依勒--富利葉公式

Gibbs 現象

富利葉級數的收斂性以及 Dirichlet 條件

半區間富利葉級數

變換積分區間

Parseval's 恆等式

富利葉級數的其他型式

 

富利葉級數的積分與微分  (Hour 2)

振動弦

橫波振動的運動方程式

波動方程式的解

RLC 迴路

正交函數

多重富利葉級數

 

富利葉積分與富利葉轉換 (Hour 3)

富利葉正弦與餘弦轉換

海森堡測不準原理

波包與群速度

藉由要求 modulated 波之部分的相位固定,x' = (Δω/Δk ) t,故有 vg = dx/dt = Δω/Δk → d ω/ d k

導熱問題

多變量函數的富利葉積分

 

富利葉積分與δ函數 (Hour 4)

富利葉積分的 Paerseval's 恆等式 (identity) 及其用處

捲積定理

導函數的富利葉轉換

δ函數與格林函數方法

 

 

線性向量空間(三週)

n 維 歐氏空間 En

廣意線性向量空間

線性組合

線性獨立、基底、維度

內積空間

Gram-Schmidt 正交過程

Chaucy-Schwarz 不等式 (兩點的距離)

dual 向量與dual 空間

線性算子

算子的矩陣表象

線性算子的代數

算子的本徵值與本徵向量

一些特殊算子

inverse 逆 (反) 算子

adjoint 伴 (伴隨) 算子

Hermitian 算子

Unitary 算子

投影算子

 基底變換

對易之算子

函數空間

 

變分學(兩週)

不固定的軌跡

Euler-Lagrange 方程式 *

約制條件下的變分學問題

Hamilton's 原理與 Lagrange 運動方程式

Ryligh-Ritz 方法

Hamilton's 原理與 正則 (canonical) 運動方程式

修正的 Hamilton's 原理與 Hamilton-Jacibi 運動方程式

多個獨立變量的變分學

 

數值方法(一週)

程式

作圖

插值

求根

積分

解微分方程

(亂數)

反矩陣、行列式值

本徵值與本徵向量

 

機率論簡介(一週)

機率與取樣

排列組合

隨機變數

平均值、變異數、標準差

常態分佈

曲線擬合

二項分佈

泊松分佈

中央極限定理

Mxwell-Boltzman 分佈

 

 

課程簡介

本課程介紹物理系大二(及部分大三)各專業科目所需要的數學。

This course offer students introductory mathematics needed for second (and partly third) year Physics majors curses.

 

 

論數學解決問題(非研究數學)的功力

抽象思考、異中求同

運用數式、建立模型

歸類問題、掌握條件(數學問題之確立)

知曉解法、預期結果(知道如何下手求解)

技巧解題、獲得答案